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다시 배우는 수학

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유클리드와 가우스 유클리드 기하학은 그리스의 수학자 유클리드가 그의 저서에서 전개한 10개의 공리 및 공준, 또는 이 체계를 수정한 것을 바탕으로 한 점, 선, 각, 표면, 입체 등에 대해 연구한 내용을 말한다. 유클리드 기하학은 공간에 대한 수학으로서의 내용만큼이나 유클리드가 수학을 소개하고 발전시키기 위해 사용했던 체계적인 연역적 방법으로 유명하다. 유클리드의 생애에 대하여는 잘 알려져 있지 않은데, 아마도 플라톤의 아카데미에서 공부한 뒤, 프톨레마이오스 왕의 초청에 따라 알렉산드리아로 온 학자가 아닌가 추정된다. 그는 광학, 음악, 천문학 등에 관한 10가지 정도의 책을 썼는데, 그 중 5가지는 아랍어로 번역된 것이 남아 있다. 그는 그때까지 알려져 있던 거의 모든 수학의 지식을 깊이 연구한 뒤에 그것을 한 이론 체..
원근법과 기하학 고대 그리스 기하학이 정점에 이른 것은 유클리드의 저작 ‘원론’에 이르러서였다. 그는 그때까지 그리스 수학자들이 이루었던 성과를 13권의 원론에 체계적으로 정리하였으며, 특히 5개의 공준(postulate)으로부터 연역적으로 정리들을 이끌어내는 논증 방식은 이후의 수학 발전에 큰 영향을 미쳤다. 17세기 후반에 이르러서는 데자르그와 파스칼에 의해 사영기하학(Projective Geometry)이라는 기하학의 새로운 분야가 개척되기 시작했다. 르네상스 시대의 이탈리아에서는 조형미술이 크게 발달하였다. 그 당시 교회의 건축에 종사했던 사람들은 실용적인 입체기하학을 필요로 했으므로 실용적인 기하학의 발전을 가져왔다. 또, 회화나 조각의 진보에 따라 그 당시까지의 화법에도 반성이 일어나 원근을 고려에 넣는 화법..
기하학의 기원 이집트 문명은 나일 강 유역에서, 메소포타미아 문명은 현재의 이라크 지역인 바빌로니아 유역에서 발생하였다. 이 문명권에 속한 사람들은 수준 높은 측정 지식과 기술을 가지고 이 지역의 문명을 발전시켰다. 그래서 이집트에서는 측정 기술을 이용하여 피라미드를 만들었고, 바빌로니아에서는 운하를 만들었다. 고대 이집트인은 홍수로 나일강이 범람한 후에는 토지를 적절하게 재분배하기 위하여 측량이 필요하였다. 이와 같은 토지 측량에 의한 도형의 연구를 기하학(Geometry)의 기원이라고 보고 있다. 기원전 1600년경에 제작된 것으로 추정되는 아메스 파피루스가 당대의 수학을 보여주는 대표적인 유물인데, 여기에는 각종 도형의 넓이와 입체의 부피를 구하는 방법이 적혀 있다. 예를 들어, 아메스의 문제 51에는 이등변삼각..
함수 상관관계 (Correlation): 두 변수 사이에 한쪽이 증가하면 다른 쪽도 증가 또는 감소하는 경향이 있을 때, 이 두 변수 사이에는 상관관계가 있다고 한다. 이러한 예는 흔히 볼 수 있다. 예를 들면, 키가 큰 사람은 작은 사람에 비하여 일반적으로 몸무게가 많다. 이와 같이 한쪽이 증가하면, 다른 쪽도 증가하는 관계를 양의 상관관계라고 한다. 또, 어떤 제품의 생산량이 늘어나면 그 제품의 가격이 떨어지는 경향이 있듯이, 한쪽이 증가하면 다른 쪽은 감소하는 관계를 음의 상관관계라고 한다. 인과관계 (Causality): 선행하는 한 변수가 후행하는 다른 변수의 원인이 되고 있다고 믿어지는 관계를 의미한다. 상관관계는 수학적으로 증명이 가능하지만, 인과관계는 어디까지나 충분한 재현성의 확인, 변인의 배..
수식 알고리즘 (Algorithm): 어떠한 주어진 문제를 풀기 위한 절차나 방법을 말하는데, 주로 컴퓨터 용어로 쓰이며 컴퓨터 프로그램을 기술함에 있어서의 실행 명령어들의 순서를 의미한다. 대수학의 아버지라 불리는 아랍의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래되었다. 알고리즘에서 가장 중요한 것은 효율성이라고 할 수 있는데 동일한 문제를 푸는 데 있어 결과는 같아도 해결방법에 따라 실행속도나 오차, 오류 등에 차이가 있을 수 있기 때문이다. 연산 (Calculation): 수를 이용해 일정한 법칙에 따라 결과를 내는 조작을 의미하며, 일반적으로 어떤 집합의 원소 사이에 일정한 조작을 적용하여 다른 원소를 이끌어 내는 것을 말한다. 연산기호란 연산에서 사용하는 덧셈기호 ＋, 뺄셈기호 -, 곱셈기호 ×, 나눗셈기호 ..
대수학 대수학(algebra)은 ‘수학의 한 분야로 수 대신의 문자를 쓰거나, 수학법칙을 간명하게 나타내는 것’을 의미하며, 컴퓨터 프로그래밍의 기초가 되는 알고리즘(algorithm)의 어원이다 대수학이라는 말은 대수학의 아버지로 불리는 아라비아의 수학자 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미가 방정식의 풀이와 관련된 규칙들을 표현하기 위해 사용했던 al-jabr에서 유래되었고, 방정식을 푸는 계산이론을 연구하는 것에서 시작되었다고 할 수 있다. 기호의 사용 이전의 대수학은 언어적 대수 단계와 생략적 대수 단계로 구분할 수 있다. 아라비아 대수학을 포함하여 디오판투스 이전 시대에 속하는 언어적 대수 단계는 기호를 사용하지 않고, 미지수나 문제 해결 과정을 일상적 언어로 기술하였던 단계이다. 생략적 대수 단계는 풀이 방..
수의 분류 정수 (Integer): 숫자의 발명 시점에서의 '숫자', 또는 '수'란, 위의 분류 체계에 따르면 양의 정수인 자연수와 0을 포함하는 것이었다. 당시 인도에서 자연수와 0이 도입된 것은 재산의 개념을 설명하고 기록하기 위한 것이었다. 이에 대비하여, 빚 또는 부채의 개념을 설명하기 위하여 인도의 수학자 브라마굽타는 음의 정수라는 개념을 도입하였다. 그러나, 수의 개념이 대수학이라는 학문으로 발전하면서, 단순히 재산과 빚을 설명하고 기록하는 이상의 추상적인 개념들까지 숫자 또는 수학적 기호로 표현하게 되었고, '수'의 개념 또한 광범위한 내용들을 포함하도록 확대되었다. 분수 (Fraction): 고대 이집트에서는 물건을 똑같이 나누는 과정에서 1보다 작은 수가 필요하다는 것을 알게 되었고, 나눈 몫을 분..
숫자의 발명 약 2000년 전 인도에서는 수평 또는 수직으로 적당한 개수의 선을 그어 수를 표시했다. 이후 마른 나뭇잎이나 나무껍질에 글씨를 쓰기 시작하면서 점차 필기하는 모양이 변했다. 이 과정에서 변형된 패턴을 따라 서로 다른 9개의 숫자들이 만들어졌다. 한편, 유럽대륙 전역에서는 로마의 숫자 체계가 사용되고 있었다. 이 체계는 이집트에서 발견된 최초의 숫자들을 개량한 것으로 숫자에 상징적인 획을 긋고 10에는 특별한 표시를 했으며 숫자 이름의 첫 번째 글자를 기록하는 그리스 아테네의 방식도 응용되었다. 숫자가 지금과 같이 쓰이지 않았던 과거에는 동서양 모두 주판을 이용해 계산했다. 이 고대 주판에서 만약 이 단순히 어떤 두 홈에 각각 들어 있는 두 개의 조약돌을 나타낸 것이었다면, 그 수는 22, 220, 20..

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