정수 (Integer): 숫자의 발명 시점에서의 '숫자', 또는 '수'란, 위의 분류 체계에
따르면 양의 정수인 자연수와 0을 포함하는 것이었다. 당시 인도에서
자연수와 0이 도입된 것은 재산의 개념을 설명하고 기록하기 위한 것이었다. 이에 대비하여, 빚 또는 부채의 개념을 설명하기 위하여 인도의 수학자
브라마굽타는 음의 정수라는 개념을 도입하였다. 그러나, 수의 개념이
대수학이라는 학문으로 발전하면서, 단순히 재산과 빚을 설명하고 기록하는 이상의 추상적인 개념들까지 숫자
또는 수학적 기호로 표현하게 되었고, '수'의 개념 또한
광범위한 내용들을 포함하도록 확대되었다.
분수 (Fraction): 고대 이집트에서는 물건을 똑같이 나누는 과정에서 1보다 작은 수가
필요하다는 것을 알게 되었고, 나눈 몫을 분자가 1인 단위분수만
사용하여 나타냈다. 이 단위분수는 이집트의 신화에 나오는 신 중 하나인 호루스의 눈을 분할한 데서 나왔고, 이를 호루스 분수라고 부르기도 했다. 호루스의 눈과 관련한 신화는
다음과 같다.
"이집트의 신 중에는 인간의 눈과 매의 눈을 가진 호루스란 신이 있었는데, 이 신의 오른쪽 눈은 태양, 왼쪽 눈은 달을 상징했다. 호루스의 아버지 오시리스가 자신의 동생이자 악의 신인 세트에게 죽임을 당하자 호루스는 세트와 80년 동안 전쟁을 해서 결국은 이기지만, 그 과정에서 왼쪽 눈을 잃게 된다. 그리고, 세트는 호루스의 왼쪽 눈을 6조각 낸 후, 이집트 전 지역에 뿌렸다. 그러자, 이집트의 다른 신들은 호루스를 이집트의 왕이자 파라오의 보호신으로 만들고, 지혜와 마법의 신 토트를 시켜 호루스의 왼쪽 눈의 조각들을 모두 모아서 기적적으로 원래 모습을 되찾아 주었다. 이를 근거로 하여 이집트인들은 눈 전체를 1이라 생각하고 6개의 분수를 적어 넣었는데, 사실 이 분수들을 모두 더하면 1/64이 모자란 63/64가 되었고, 지혜인 신인 토트가 마법으로 1/64을 더해 완전한 1을 만들어 호루스의 왼쪽 눈을 완성해 주었다. 그 후 호루스는 이집트 최고의 태양신이자 하늘의 신으로 불리웠다."
소수 (Decimal): 분수가 생긴 지 3000년이 지난 후, 네덜란드가 스페인으로부터 독립전쟁을 하던 시기에 수학자이자 장교였던 스테빈은 군자금을 빌리고 이자를 계산하던 업무를 담당했는데, 이자율 때문에 항상 골치를 썩었다. 그 당시에는 단위분수만을 사용하였기 때문에 1/10은 간단하지만 1/11이나
1/12일 경우에는 계산이 매우 복잡했다. 그래서 스테빈은 좀더 쉽게 계산할 수 있는 방법은
찾게 되었고, 그 과정에서 소수라는 개념을 발견하게 되었다. 예를 들어, 1/11의
경우 91/1000의 값과 거의 같으니 9/100으로 바꾸어
쓰고, 1/12의 경우 8/100의 값과 거의 같으니 8/100으로 썼던 것이다. 그리고 여기에서 더 나아가, 분수들 간에 더 큰 수를 비교하기 위해 결국 오늘날의 소수와 같은 표기법을 개발해내기에 이르렀다.
정수, 분수 및 소수를 합쳐 유리수(Rational Number)라 부른다.
무리수 (Irrational Number): 고대 그리스의 수학자 피타고라스라는 우주의 근본을 ‘수’라고 생각했고, 피타고라스와 그의 많은 제자들은 자연수만을 수로 생각하고
있었다. 그런데 분수로 표현할 수 없는 수가 존재할지도 모른다는 것을 점점 알아가게 되면서 피타고라스와
그의 제자들은 무척이나 당황했고, 피타고라스는 자신이 다룰 수 없는 이러한 수가 존재한다는 것을 도저히
받아들일 수 없었다. 즉, 분수로 표현할 수 없는 수가 존재한다는
것을 인정하고 싶지 않았기 때문에 분수로 표현되지 않는 수가 존재한다는 사실을 비밀로 하도록 했다. 그런데, 피타고라스 학파의 한 사람이었던 히파수스가 이 비밀을 다른 사람들에게 말해버렸고, 피타고라스의 노여움을 산 그는 무거운 추에 묶인 채 바다에 던져졌다는 이야기가 전해 내려온다. 어찌 됐건, 분수가 아니므로 도구로 측정할 수 없다는 수가 있다는
사실이 알려지면서 천하의 피타고라스조차도 ‘분수로 표현될 수 없는 수’의
존재를 도저히 외면할 수 없게 되었고, 수학자들은 이미 알고 있던 유리수 이외에 ‘무리수’라는 수도 존재한다는 것을 결국 인정할 수밖에 없었다.
유리수와 무리수를 합쳐 실수(Real Number)라 부른다.
허수 (Imaginary Number): 허수는 0을 포함하되 실수가 아닌 수를 뜻한다. 고대 그리스의 수학자 헤론은 제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있으나, 공식적으로 허수를 처음으로 발견한 사람은 16세기 이탈리아의 수학자
카르다노로 알려져 있다. 그는 3차방정식의 일반해를 구하는
과정에서 이상한 수를 발견한다. 일반적으로 음수든 양수든 제곱하면 무조건 양수가 나오게 되는데, 그의 3차방정식 일반해 풀이에 제곱하여 음수가 나오는 수가 있었던
것이다. 처음에 카르다노는 어떻게든 이 수를 무시하기 위해 노력했으나,
이 수에 대해 지속적으로 탐구하던 중에 3차방정식의 풀이 중 루트 안의 음수, 즉 허수를 잘 다루면 결과적으로 실수근이 나오기도 한다는 것을 알게 된다. 이전까지 3차방정식의 근의 공식을 모르던 수학자들은 3차방정식을 구하기 위해
근사라는 방법을 사용했었다. 그러나, 이 방법은 복잡하고
부정확했는데, 카르다노는 허수를 수처럼 생각한다는 불편함만 감수하면
3차방정식의 근의 공식을 통해 쉽게 실수근을 찾아 낼 수 있다는 것을 알아냈다.
실수와 허수를 합쳐 '수'의 가장 큰 개념인 복소수(complex number)라 부른다.
